Lista de exercícios do ensino médio para impressão
Calcular a distância entre os pontos A ( 1 ; 3 ) e B ( -1 ; 4 ) .

 



resposta:
×
Calcular a distância do ponto $\;P(-6,8)\;$ à origem do sistema cartesiano.

 



resposta:
×
Determinar no eixo das abscissas um ponto M , cuja distância até o ponto P (2 , -3) seja igual a 5 unidades.

 



resposta: Resolução:
Se o ponto pertence ao eixo das abscissas, sua coordenada no eixo das ordenadas é zero.
$\,M\in0x\phantom{X}\Rightarrow\;$
$\;y_{M}\,=\,0\,$
$\,d_{MP}\,=\,5\;\Rightarrow\;$
$\sqrt{{\large (x_M\,-\,x_P)^2\,+\,(y_M\,-\,y_P)^2}}\,=\,5\;\Rightarrow$
$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$
$\sqrt{{\large (x_M\,-\,2)^2\,+\,[0\,-\,(-3)]^2}}\,=\,5\;\Rightarrow$
$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$
$(x_M\,-\,2)^2\,+\,9\,=\,25\;\Rightarrow$
$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$
$(x_M\,-\,2)^2\,=\,16\;\Rightarrow\;x_M\,-\,2\,=\,\pm4\,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{rcr} x_M\,=\,6 \phantom{X}& \\ x_M\,=\,-2 & \\ \end{array} \right.$
$\therefore \;\;M_1\,(6\,;\,0)\;\;M_2\,(-2\,;\,0)$

Resposta:
$M_1\,(6\,;\,0)\;\;$ ou $\;\;M_2\,(-2\,;\,0)$

×
Determinar a natureza do triângulo: A (2 ; -3), B (-5 ; 1) e C (4 ; 3).

 



resposta: Resolução:
Primeiro determinar os comprimentos dos lados do triângulo.
$AB\;=$
$\sqrt{{\large (2\,+\,5)^2\,+\,(-3\,-\,1)^2}}\,\,=\,\sqrt{65}$
$BC\;=$
$\sqrt{{\large (4\,+\,5)^2\,+\,(3\,-\,1)^2}}\,\,=\,\sqrt{85}$
$AC\;=$
$\sqrt{{\large (4\,-\,2)^2\,+\,(3\,+\,3)^2}}\,\,=\,\sqrt{40}\,=\,2\centerdot \sqrt{10}$
Como:
$\,AB \neq BC \neq AC\; \Rightarrow \; \triangle$escaleno
$BC\, < AB^2 + AC^2\;\Rightarrow\; \triangle$acutângulo
Resposta: escaleno e acutângulo .
×
Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

 



resposta:
Considerações:

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.

Veja aqui
triângulo ABC circunscrito na circunferência

Resolução:

Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .
$\phantom{X}\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OB}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$ $\;d_{OA}\,=\,d_{OB}\;\Rightarrow \,\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OB}^2}d\;\Rightarrow$
1.
${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\,$ ${\small (x\,-\,9)^2\,+\,[y\,-\,(-10)]^2\;}\Rightarrow $
${\small x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=$ ${\small \,x^2\,-\,18x\,+\,81\,+\,y^2\,+\,20y\,+\,100\;}\Rightarrow $
${\small 6x\,-\,12y\,+\,18x\,-\,20y}\,=$ $\,{\small 81\,+\,100\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $
${\small 24x\,-\,32y\,=\,136}\;\Rightarrow \;$ $\boxed{\;3x\,-\,4y\,=\,17\;}\;\text{(I)}$
2.
$\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OC}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;$ $\;\Rightarrow\;d_{OA}\,=\,d_{OC}\;\Rightarrow \;\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OC}^2}d\;\Rightarrow$
${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\;$ $\,{\small [x\,-\,(-5)]^2\,+\,(y\,-\,4)^2}\;\Rightarrow $
${\small \, x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=\,$ ${\small \,x^2\,+\,10x\,+\,25\,+\,y^2\,-\,8y\,+\,16}\;\Rightarrow $
${\small \,6x\,-\,12y\,-\,10x\,+\,8y}\,=\,$ ${\small \,25\,+\,16\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $
${\small \,-4x\,-\,4y\,=\,-4}\;\Rightarrow\;$ $\; \boxed{\;x\,+\,y\,=\,1\;}\;\text{(II)} $
3.
O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II):
$\;\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,-\,4y\,=\,17 & \\ x\,+\,y\,=\,1\phantom{X} \;& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\;\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,3\;\; & \\ y\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\; 0\,(3\,,\,-2)\,$
Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio:
$\,R\,=\,d_{OA}\,=\,$ $\,\sqrt{[3\,-\,(-3)]^2\,+\,(-2\,-\,6)^2}\;\Rightarrow\;$ $\;R\,=\,10$
Resposta:
$\;\boxed{0\,(3\,,\,-2)\;\text{e}\;R\,=\,10}\,$

×
Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\,$.

 



resposta: Resolução:
Se um ponto $\;M\,(x_M\,;\,y_M)\;$ é o ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\;$ então:
(I)
A coordenada $\,x_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,x_A\,$ e $\,x_B\,$
$x_M\,=\,{\large \frac{x_A + x_B}{2}}\;\Rightarrow\;x_M\,=\,{\large \frac{(-3) + 7}{2}}\,=\,2$
(II)
A coordenada $\,y_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,y_A\,$ e $\,y_B\,$
$y_M\,=\,{\large \frac{y_A + y_B}{2}}\;\Rightarrow\;y_M\,=\,{\large \frac{6 +(-1)}{2}}\,=\,\frac{5}{2}$
concluímos que o ponto médio é $\;M\,(2\,;\frac{5}{2})$

Resposta:$\;\boxed{\;M\,(2\,;\,\frac{5}{2})\;}\,$

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(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta $\,\overline{AC}\,$ no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:
a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
9

 



resposta: alternativa C
×
(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:
a)
(1 ; 0)
b)
(11 ; 0)
c)
(3 ; 5)
d)
(6 ; 5)
e)
(3 ; 4)

 



resposta: alternativa E
×
(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que $\;AB^2\;=\;BC^2\,+\,AC^2\;$, então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:
a)
2
b)
1
c)
3
d)
4
e)
5

 



resposta: alternativa A
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Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.

 



resposta: (0;9), (4;-7) e (-12;-3)

×
(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .

 



resposta: (1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .

×
(FEI MAUÁ) Calcular a distância da origem ao vértice da parábola:$\phantom{X}y\,=\,x^2\,-\,6x\,+\,10\phantom{X}$

 



resposta: $\,d\,=\,\sqrt{\,10\,}\,$
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Veja exercÍcio sobre:
geometria analítica
coordenadas cartesianas
distância entre dois pontos